甲内容提要

1．先看一例：a1=b,a2= ,a3=……　an+1=这里a1,a2,a3……an,an+1是对应于正整数1，2，3……n,n+1 的有序的一列数（右下标的数字表示第几项），这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其他各项数值。

例如: 若　a1=10, 则a2==,a3=10,a4=,a5=10……　　

2. 为了计算的方便，通常把递推公式写成以a1和n表示an的形式，这可用经验归纳法。  例如：把递推公式an+1=an+5改为用a1 和n来表示

∵a2=a1+5,　∴a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+2×5，  a4=a3+5=(a1+2×5)+5=a1+3×5

……　　　　∴an=a1+(n-1)5

如果 已知a1=10, 求a20,显然代入这一公式方便。A20=10+19×5=105

3.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。

乙例题

例1.已知：a1=2, an=an-1+2(n-1)  (n≥2)　　   求：a100的值

   解：a100=a99+2×99

         =a98+2×98+2×99

         =……

         =a1+2×1+2×2+2×3+……+2×98+2×99

         =2+2×=9902

  又解：a2=a1+2×1

        a3=a2+2 ×2=(a1+2×1)+2×2

        a4=a3+2×3=(a1+2×1+2×2)+2×3

        ……

        a100=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×99

           =2+2(1+2+3+……+99)=9902

例2.已知：x1=97,  对于自然数n>1,  xn=　 求：x1x2x3·……·x8的值

   解：由递推公式xn=可知    x1x2=x1=2   x3x4=x3=4 

      x5x6=x5=6      x7x8=x7=8　　∴x1x2x3·……·x8=2×4×6 ×8=384

例3.已知：100个自然数a1,a­2,a3……a100满足等式

(n-2)an－（n－1）an-1+1=0    (2≤n≤100)并且a100=199

   求：a1＋a­2＋a3＋……＋a100

分析：已知等式是一个递推公式，用后项表示前项：an-1=

     可由a100求a99,a98……

解：a99===197

   a98===195

用同样方法求得a97=193,  a96=191,……a1=1

∴a1＋a­2＋a3＋……＋a100＝1＋3＋5＋……＋195＋197＋199

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丙练习23

1.    已知　a1=1, a2=1, 且an+2=an+1+an 

那么　a3=___,a4=____,a5=_____,a6=_____,a7=_____

2.    若a1=2m, an=　则a2=__,a3=__,a4=__,a5=__,a1989×a1990=___

3.  n为正整数，有递推公式an+1=an－3，试用a1,n表示第n项an

4.  已知　a1=10, an+1=2an      求a10

5.  已知　f(2)=1, f(n+1)=f(n)+n,    求 f(10)

6.     设x+y=a1,  x2+y2=a2,  ……　xn+yn=an,  xy=6, 则a2=a12－2b,

有递推公式an+1=a1an－ban-1, 试按本公式求出：用a,b表示a3, a4, a5, a6

根据下列数据的特点，写出递推公式：

①    a1=1, a2=4, a3=7,  a4=10……an=＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿　　

②    a1=1, a2=3, a3=6,  a4=10……an=＿＿＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿＿

7.     n名象棋选手进行单循环比赛（每人对其他各人各赛一场）试用递推公式表示比赛的场数。

8.     平面内n条的直线两两相交，最多有几个交点？试用递推公式表示。