，当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号

柯西不等式的几种变形形式

1.设aiÎR,bi>0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号

2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=bn时取等号

例1.已知a1,a2,a3,…,an，b1,b2,…,bn为正数，求证：

证明：左边=

例2.对实数a1,a2,…,an,求证：

证明：左边=

例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：

证明：左边³

例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：

证明：左边=

　　　　 ³

　　　　 =

　　　　 =

例5.若n是不小于2的正整数，试证：

证明：

所以求证式等价于

由柯西不等式有

于是：

又由柯西不等式有

<

例6.设x1,x2,…,xn都是正数(n³2)且，求证：

证明：不等式左端即　 (1)

∵，取，则　 　(2)

由柯西不等式有　 (3)

及

综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：

三、排序不等式

设a1£a2£…£an,b1£b2£…£bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列，则有：

a1bn+ a2bn-1+…+ anb1£a1br1+ a2br2+…+ anbrn£ a1b1+a2b2+…+ anbn

反序和£乱序和£同序和

例1.对a,b,cÎR+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小

解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2，则有a3+b3+c3³a2b+b2c+c2a

例2.正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1/,a2/,…an/，则有

证明：取两组数a1,a2,…,an；

其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有

例3.已知a,b,cÎR+求证：

证明：不妨设a³b³c>0,则>0且a12³b12³c12>0

则

例4.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：

证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列，且b1<b2<…<bn-1；

c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一个排列,且c1<c2<…<cn-1

则且b1³1,b2³2,…,bn-1³n-1；c1£2,c2£3,…,cn-1£n

利用排序不等式有：

例5.设a,b,cÎR+,求证：

证明：不妨设a³b³c,则，a2³b2³c2>0

由排序不等式有：

两式相加得

又因为：a3³b3³c3>0,

故

两式相加得

例6.切比雪不等式：若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,则

a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,则

证明：由排序不等式有：

a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn

a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b2+a2b3+…+anb1

a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b3+a2b4+…+anb2

…………………………………………

a1b1+a2b2+…+anbn³ a1bn+a2b1+…+anbn-1

将以上式子相加得：

n(a1b1+a2b2+…+anbn)³ a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)

∴

摘自数学教育之窗